Download e-book for iPad: EinfГјhrung in die Mathematik: HintergrГјnde der by Helmut Koch

By Helmut Koch

ISBN-10: 3540203915

ISBN-13: 9783540203919

ISBN-10: 3540430229

ISBN-13: 9783540430223

Diese Einführung besticht durch zwei ungewöhnliche Aspekte: Sie gibt einen Einblick in die Mathematik als Bestandteil unserer Kultur, und sie vermittelt die Hintergründe der Mathematik vom Schulstoff ausgehend bis zum Niveau von Mathematikvorlesungen im ersten Studienjahr. Die Stoffdarstellung geht vom Aufbau der natürlichen Zahlen aus; der Schwerpunkt liegt aber in den exakten Begründungen der Zahlenbegriffe, der Geometrie der Ebene und der Funktionen einer Veränderlichen. Dabei werden alle Sätze bis hin zum Hauptsatz der Algebra vollständig bewiesen. Der klare Aufbau des Buches mit Stichwortregister wichtiger Begriffe erleichtert das systematische Lernen und Nachschlagen. Die zweite Auflage enthält teilweise ausführliche Darstellungen für die Lösungen der zahlreichen Übungsaufgaben. Da viele Aspekte zur Sprache kommen, die so weder im Unterricht noch im Studium behandelt werden, ergänzt die Einführung perfect den Vorlesungsstoff für Lehramtskandidaten und Diplomstudenten.

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Helmut Koch's EinfГјhrung in die Mathematik: HintergrГјnde der PDF

Diese Einführung besticht durch zwei ungewöhnliche Aspekte: Sie gibt einen Einblick in die Mathematik als Bestandteil unserer Kultur, und sie vermittelt die Hintergründe der Mathematik vom Schulstoff ausgehend bis zum Niveau von Mathematikvorlesungen im ersten Studienjahr. Die Stoffdarstellung geht vom Aufbau der natürlichen Zahlen aus; der Schwerpunkt liegt aber in den exakten Begründungen der Zahlenbegriffe, der Geometrie der Ebene und der Funktionen einer Veränderlichen.

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21) Consequently, M is weakly closed. If M is locally convex then f will be continuous for any closed subspace M. Further, if E is an F-space then E / M has the point separation property. P r o o f . On the space M1 spanned by M and b, we define a linear function f by /(x + e C, x e M). 22) It is obvious that f ( z ) = O o h M a n d f ( b ) = l . The hyperplane b + M is closed and does not contain 0. Hence there exists an absolutely p-convex closed neighborhood U of 0 which does not intersect b.

M As a corollary of the above T h e o r e m 15 we get. C o r o l l a r y 2 ( B a n a c h ) L e t a continuous linear mapping A maps an F-space E onto an F-space F in one-to-one way. Then the inverse mapping A -1 is continuous. 2;r which is a surjection. However, every separable locally bounded space E with a p- homogeneous norm is an image of the space 1p by a continuous linear map. nC~=ltnXn, where {Xn} is dense in the unit ball of E, {tn}E1 p, see Rolewicz [ [186], Th. 9]. 4 PRINCIPLE BOUNDEDNESS 25 PRINCIPLE As usual E and F denote F-spaces.

Let U C E If A E L(E; F) is surjective, then A is be a neighborhood of zero. We first show that the closure A(U) contains a neighborhood of zero in F. Since the addition x - y is a continuous function, there exists a neighborhood of zero M such that M - M C U. Since M is a neighborhood of zero (x) E -- Un= lnM. So, and as A is surjective, F- A(E) - Un~__lnA(M). By the Bair category theorem, we have at least a set h A ( M ) non-empty open set V. Hence contains a I ( V - V) C A ( M ) - A ( M ) C A ( M ) - A ( M ) C A(U) n and the set ~1( V - V) is of course a neighborhood of zero in F For any e > 0, we write BE( ) = {x E; Ilxll < and B g ( e ) = {y E F; ]IYI] < e} where I1" II is the F - n o r m defined by the metric of E or of F .

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EinfГјhrung in die Mathematik: HintergrГјnde der Schulmathematik by Helmut Koch


by Christopher
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